Un sencillo ejemplo de la Teoría de Juegos

Fragmento extraído de la novela “En busca de Klingsor” del escritor mexicano Jorge Volpi (obra muy recomendable para los amantes de la historia y la ciencia), donde se explica de manera muy sencilla la Teoría de Juegos, aunado que sigue siendo un ejemplo muy aplicado a la actualidad:

- Dígame, Bacon, ¿qué es una guerra?

- No lo sé, un enfrentamiento entre dos o más enemigos.

- ¿Y qué más? – Von Neumann comenzaba a desesperarse - ¿Por qué pelean, Bacon, por qué?

- Porque tienen intereses contrapuestos – espetó esté.

- Por Dios no: ¡es exactamente al contrario!

- ¿Por qué tienen intereses comunes?

- ¡Pues claro! Tienen un mismo objetivo, una misma meta, que sólo puede ser de uno de ellos. Por eso se enfrentan.

Bacon se sentía confundido. Von Neumann, en tanto, trataba de refrenar su ira con más bocadillos.

- Voy a darle un ejemplo sencillo y oportuno. ¿Cuál es ese objetivo común que quieren los nazis y los ingleses, pongamos por caso? Una misma tarta, Bacon: la tarta de Europa. Desde que Hitler obtuvo el poder en Alemania en 1933, no ha hecho otra cosa sino pedir más trozos: primero fue Austria, luego Checoslovaquia, luego Polonia, Bélgica, Holanda, Francia, Noruega… Luego toda la tarta. Al principio, los ingleses permitieron sus avances, como en esa infame conferencia de Munich, pero luego les pareció que Alemania tenía demasiado. ¿Se da cuenta?

- Lo sigo, profesor. La guerra es como un juego.

- ¿Ha leído mi articulito de 1928 sobre el asunto? – inquirió Von Neumann, receloso.

-“Sobre la teoría de los juegos de mesa” – cito Bacon -. He escuchado hablar sobre él, pero temo no haberlo leído aún…

- Le creeré – añadió el profesor -. De acuerdo, supongamos entonces que la guerra entre Hitler y Churchill es un juego. Añadiendo, además, una cosa que aquí no es tan clara, pero en fin: los jugadores que intervienen en él, lo hacen racionalmente.

- Comprendo – se atrevió Bacon -. Van a hacer lo imposible por obtener el resultado que pretenden: ganar.

- Muy bien – Von Neumann sonrió por primera vez -. La teoría que estoy desarrollando ahora, en compañía de mi amigo el economista Oskar Morgenstern, dice que todos los juegos racionales deben de poseer una solución matemática.

- Una estrategia.

- Ya lo ha comprendido, Bacon. La mejor estrategia es un juego, o en la guerra, es aquella que lleva al mejor resultado posible. Bien – Von Neumann se aclaró la garganta con un trago de whisky -, según entiendo, existen dos tipos de juegos: los de “suma cero” y los que no lo son. Un juego es de suma cero si el objeto que los jugadores persiguen es finito y necesariamente uno gana lo que pierde el otro. Si sólo tengo una tarta, cada rebanada que yo obtengo representa una pérdida para mi rival.

- Y los que no son de suma cero, serían aquellos en los cuales los beneficios que obtiene cada jugador no necesariamente representan una pérdida para el otro – sentenció Bacon, complacido.

- Así es. Por lo tanto, nuestra guerra entre nazis e ingleses…

- Es de suma cero.

- De acuerdo. Tomémoslo como hipótesis de trabajo. ¿Cuál es la situación actual de la guerra? Hitler es dueño de media Europa; Inglaterra resiste apenas. Los rusos se mantienen expectantes, anclados en su pacto de no agresión con los alemanes. Si esto es así, Bacon, dígame: ¿cuál cree que vaya a ser la siguiente estrategia del Führer? – preguntó Von Neumann, excitado; su pecho resoplaba como un fuelle.

La pregunta era difícil y Bacon sabía que también era capciosa. No debía contestarla atendiendo a su intuición, sino a las expectativas matemáticas de su interrogador.

- Hitler va a querer otro pedazo de tarta.

- ¡Eso quería oír! – exclamó Von Neumann -. Se lo hemos dicho al presidente Roosevelt una y otra vez. ¿Qué pedazo exactamente?

Había dos opciones. Bacon no dudó.

- Creo que empezará con Rusia.

- ¿Por qué?

- Porque es el enemigo potencial más débil y no debe darle mucho más tiempo a Stalin para seguirse armando.

- Perfecto, Bacon. Ahora vamos a la parte difícil – Von Neumann disfrutaba con el asombro del muchacho -. Consideremos nuestra posición en este asunto, la de Estados Unidos de América. Por lo pronto, nosotros no estamos involucrados, así que podemos ser más objetivos. Tratemos de decidir, racionalmente, nuestros actos […]

- Mi teoría es la siguiente – comenzó Von Neumann, tomando una hoja de papel de la mesa de centro y bosquejando cuidadosos esquemas – Entre los alemanes y nosotros, el juego no es de suma cero, sino que existen diversos valores de acuerdo con las ganancias que desee obtener cada uno e la repartición de una tarta aún más grande: el mundo. Existen dos estrategias y, por tanto, cuatro resultados posibles. Estados Unidos puede intervenir o no en la guerra. Los países del Eje, por su parte, pueden atacarnos o no. ¿Cuáles son, entonces, los cuatro escenarios?

Bacon respondió con seguridad:

- Primero: que nosotros los ataquemos; segundo, que ellos nos ataquen por sorpresa; tercero, que nos ataquemos simultáneamente; y cuarto, que nos mantengamos como hasta ahora.

- Excelente análisis, mariscal Bacon. Ahora consideremos los resultados de cada caso. Si nosotros declaramos la guerra, tenemos la posibilidad de sorprenderlos, pero decididamente se perderán muchas vidas norteamericanas; si, por el contrario, ellos nos atacan primero, poseen este margen de sorpresa, pero les supondrá tener una guerra en dos frentes (si se confirma nuestra teoría de que de un momento a otro atacarán a los rojos); si, como lo indica el tercer escenario, empezamos una guerra simultánea, esperando las declaraciones de guerra y todos los requisitos del caso, ambos habremos desperdiciado la posibilidad de sorprender al otro, y en cambio tendremos las mismas pérdidas humanas; por último, si dejamos las cosas como están, lo más probable es que Hitler sea el dueño de Europa y nosotros de toda América, pero a la larga, ello también nos llevará a enfrentamientos.

- Ahora otórguele valores a cada uno de los resultados posibles, sea para nosotros o para ellos.

1. Estados Unidos y el Eje se atacan simultáneamente = USA, 1; Eje, 1.

2. Estados Unidos ataca primero, y sorprende al Eje = USA, 3; Eje, 0.

3. Estados Unidos espera y el Eje sorprende con un ataque = USA, 0; Eje, 3.

4. La situación se mantiene igual que hasta ahora = USA, 2; Eje, 2.

- La pregunta es – Von Neumann se mostraba más entusiasta que nunca - ¿qué debemos hacer?

- El peor escenario es esperar y ser atacados por sorpresa. Obtendremos un 0 frente al 3 de Adolf. El problema es que ignoramos qué va a hacer el maldito. Visto así, creo que la única solución racional es atacar primero. Si sorprendemos a los nazis, ganamos un bello número 3. Si simplemente motivamos una guerra simultánea, al menos obtendremos un 1 y no el 0 que nos correspondería si somos demasiado indulgentes – concluyó Bacon, convencido -. No hay dudas. El resultado, así, al menos depende de nosotros. […]

Tal como John Von Neumann había previsto, a finales de 1941 Estados Unidos no tuvo más remedio que entrar en la guerra. El presidente Roosevelt había decidido matenerse neutral hasta el último momento y los japoneses eligieron la mejor estrategia posible: el ataque por sorpresa. A las 3a.m. del 7 de diciembre, una nube de bombarderos nipones atacó, sin aviso previo, a la flota norteamericana anclada en el puerto de Pearl Harbor.

Referencias citadas en el fragmento:

Von Neumann, J. (1928): "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele," Mathematische Annalen, 100(1), pp. 295-320. English translation: "On the Theory of Games of Strategy," in A. W. Tucker y R. D. Luce, ed. (1959), Contributions to the Theory of Games, v. 4, p p. 13-42.

Von Neumann, J. y Morgenstern, O. (1944): Theory of games and economic behavior, Princeton University Press.

Para saber más, Microeconomía Aplicada.